Matemáticas

Presentamos un marco unificador en el que tanto el retículo de ν-Tamari, introducido por Préville-Ratelle y Viennot, como los ideales de orden principal en el retículo de Young indexados por trayectorias de retículo ν, se interpretan como los grafos duales de dos triangulaciones llamativas combinatorias de una familia de politopos de flujo que llamamos politopos de flujo ν-Caracol. La primera triangulación da una nueva realización geométrica del complejo ν-Tamari introducido por Ceballos, Padrol y Sarmiento. Usamos la segunda triangulación para mostrar que el vector h∗ del politopo de flujo ν-Caracol está dado por los números ν-Narayana, extendiendo un resultado de Mészáros cuando ν es un camino reticular de escalera. Nuestro trabajo generaliza y unifica resultados sobre la estructura dual de dos subdivisiones de un politopo estudiado por Pitman y Stanley.

Estudiamos dos triangulaciones llamativas combinatorias de una familia de politopos de flujo indexados por caminos de reticulares ν que llamamos politopos de flujo ν-Caracol. La primera triangulación da una realización geométrica del complejo ν-Tamari introducido por Ceballos, Padrol y Sarmiento, cuyo grafo dual es el diagrama de Hasse de la retícula ν-Tamari introducido por Préville-Ratelle y Viennot. El grafo dual de la segunda triangulación es el diagrama de Hasse del ideal de orden principal determinado por ν en la reticula de Young. Usamos la última triangulación para mostrar que el vector h* del politopo de flujo ν-Caracol está dado por los números ν-Narayana, extendiendo el resultado de Mészáros cuando ν es un camino reticular de escalera.

Asociado a un grafo dirigido G y una secuencia que representa flujos netos en los vértices de G podemos definir un politopo cuyos puntos corresponden a flujos a través de las aristas dirigidas de G. La familia de politopos obtenidos de esta forma se denominan politopos de flujo y son tema de estudio reciente. Stanley-Postnikov y Mezsáros-Morales-Striker propusieron un procedimiento para construir diferentes subdivisiones de un politopo de flujo. Para la sucesión de flujo neto (1,0, ..., 0), cualquier subdivisión de este tipo resulta ser una triangulación. Estudiamos los grafos duales de dichas triangulaciones para una familia particular de grafos conocidos como grafos Caracol, previamente estudiadas por Benedetti et al., y cuyos politopos de flujo asociados tienen volúmenes normalizados dados por los números de Catalán. Demostramos que el grafo dual de una de las triangulaciones resulta ser el 1-esqueleto del Asociaedro simplicial y otro es un grafo de intercambio que se obtiene mediante operaciones de inversión en el conjunto de trayectorias de Dyck.

En este evento di una breve introducción a los temas estudiados para mi tesis de pregrado, con algunos ejemplos y los resultados que obtuvimos en ese trabajo.